Das waren noch Zeiten!

Ergänzend zu dem Artikel "Schule" auf Das-waren-noch-Zeiten, eine Möglichkeit zum Berechnen der Wurzel einer Zahl ohne Taschenrechner.
Dieser Algorithmus erinnert ein wenig an das schriftliche Dividieren mit ein paar zusätzlichen Rechenschritten.



1. Beispiel

die Wurzel aus 173056


Schritt 1:


1. die Zahl wird von rechts beginnend in 2er-Zifferngruppen unterteilt:

17.30.56

von links beginnend wird für die 1. Zweiergruppe eine Zahl gesucht, deren Quadrat kleiner oder gleich der Zweiergruppe ist, in diesem Fall ist es die 4.
Die 4 wird quadriert, das Ergebnis von der 1. Zweiergruppe abgezogen, und die nächste Ziffer der Ausgangszahl "heruntergeholt".


17.30.56 = 4
16
--
13

Dieser erste Schritt ist noch vergleichbar mir einer einfachen Division. Jetzt wird es aber etwas komplizierter.


Schritt 2:

Das Ergebnis der Subtraktion wird durch das Dopplete der gefundenen Quadratzahl geteilt

13 : (2x4) = 13:8 = 1 Rest 5

der Rest kann vernachlässigt werden. Ist das Ergebnis (ohne Rest) kleiner 10 (falls nicht, siehe nächstes Beispiel), ist dies die 2. Ziffer des Ergebnisses, also


17.30.56 = 41
16
--
13


Schritt 3:

Es wird nun die nächste Ziffer der Ausgangszahl heruntergeholt.

17.30.56 = 41
16
---
130

Zur Subtraktion wird jetzt aber kein Quadrat mehr ermittelt, sondern das Produkt aus der gefundenen Ergebnisziffer mit der Ziffer des Divisor und des Ergebnisses der letzen Division, also

17.30.56 = 41
13 : 8 = 1 Rest 5

d.h.

1 x 81 = 81

diese Zahl wird jetzt abgezogen und die nächste Ziffer heruntergeholt.

17.30.56 = 41
16
----
130
81
---
495


Schritt 2 und Schritt 3 werden solange wiederholt bis das Ergebnis feststeht.


Schritt 2:

Das Ergebnis der Subtraktion wird durch das Doppelte des bisherigen Ergebnisses geteilt

495 : (2x41) = 495:82 = 6 Rest 3

der Rest kann vernachlässigt werden. Ist das Ergebnis (ohne Rest) kleiner 10, ist dies die nächste Ziffer des Ergebnisses, also

17.30.56 = 416
16
----
130
81
---
495

Schritt 3:

Es wird nun die nächste Ziffer der Ausgangszahl heruntergeholt.

17.30.56 = 416
16
----
130
81
---
4956



Wieder wird das Produkt aus der gefundenen Ergebnisziffer mit der Ziffer des Divisor und des Ergebnisses der letzen Division ermittelt, also

17.30.56 = 416
495:82 = 6 Rest 3

d.h.

6 x 826 = 4956 diese Zahl wird jetzt abgezogen

17.30.56 = 416
16
----
130
81
---
4956
4956
-----
0

Es bleibt kein Rest und auch keine Zahl, die noch nicht heruntergeholt wurde, d.h. das Ergebnis ist 416.

Also ist die Wurzel von 173056 gleich 416.




2. Beispiel


die Wurzel aus 34596

Schritt 1:


1. die Zahl wird von rechts beginnend in 2er-Zifferngruppen unterteilt:

3.45.96

von links beginnend wird für die 1. Zweiergruppe (diesmal nur eine Ziffer) eine Zahl gesucht, deren Quadrat kleiner oder gleich der Zweiergruppe ist, in diesem Fall ist es die 1.
Die 1 wird quadriert, das Ergebnis von der 1. Zweiergruppe abgezogen, und die nächste Ziffer der Ausgangszahl "heruntergeholt".

3.45.96 = 1
1
-
24


Dieser erste Schritt ist noch vergleichbar mir einer einfachen Division. Jetzt wird es aber etwas komplizierter.


Schritt 2:

Das Ergebnis der Subtraktion wird durch das Doppelte der gefundenen Quadratzahl geteilt

24 : (2x1) = 24:2 = 12 Rest 0

Das Ergebnis ohne Rest ist diesmal nicht kleiner als 10. Dann probiert man es mit der nächsten Zahl kleiner 10, also der 9, solange bis sich Zahl, die kleiner als das Ergebnis der Subraktion einschl. herunter geholter Ziffer ergibt.

24:2 = 9 Rest 6

3.45.96 = 19
1
-
245

9x29 = 261, 261 ist größer als 245, also nächste kleinere Zahl ausprobieren


24:2 = 8 Rest 8

3.45.96 = 18
1
-
245

8x28 = 224, 224 ist kleiner als 245, passt.

Die Schritte 2 und Schritt 3 sind in diesem Fall zusammengefallen, es geht weiter mit


Schritt 2:


Es wird nun die nächste Ziffer der Ausgangszahl heruntergeholt.


3.45.96 = 18
1
-
245
224
----
219


Das Ergebnis der Subtraktion wird durch das Dopplete des bisherigen Ergebnisses geteilt

219 : ( 2x18 ) = 219:36 = 6 Rest 3

der Rest kann vernachlässigt werden. Ist das Ergebnis (ohne Rest) kleiner 10, ist dies die nächste Ziffer des Ergebnisses, also

3.45.96 = 186
1
-
245
224
----
219


Schritt 3:

Es wird nun die nächste Ziffer der Ausgangszahl heruntergeholt.

3.45.96 = 186
1
-
245
224
----
2196

Wieder wird das Produkt aus der gefundenen Ergebnisziffer mit der Ziffer des Divisor und des Ergebnisses der letzen Division ermittelt, also

3.45.96 = 186
219:36 = 6 Rest 3

6 x 366 = 2196 diese Zahl wird jetzt abgezogen

3.45.96 = 186
1
-
245
224
----
2196
2196
------
0


Es bleibt kein Rest und auch keine Zahl, die noch nicht heruntergeholt wurde, d.h. das Ergebnis ist 186.

Also ist die Wurzel von 34596 gleich 186.


Nach ein paar Übungen (sprich Hausaufgaben) hat man (meist) den Dreh raus und man kann die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl ohne Taschenrechner ermitteln.

Sind alle Ziffern der Ausgangszahl heruntergeholt und geht die letzte Subtraktion bedauerlicherweise nicht glatt auf, wird ein Komma gesetzt und von oben solange Nullen heruntergeholt bis es endlich aufgeht oder eine genügende Anzahl von Nachkommastellen ermittelt wurden.

Im Prinzip funktioniert das nicht nur mit ganzen Zahlen, sondern mit allen Dezimalzahlen. Hat die Ausgangszahl noch Nachkommastellen, teilt man die Zweiergruppen vom Komma ausgehend sowohl nach rechts als auch nach links in 2er-Zifferngruppen ein.


Zugegeben, mit dem Taschenrechner geht es etwas schneller und einfacher, aber das kann ja (fast) jeder.

An das Wurzelziehen fehlt mir jede Erinnerung (wahrscheinlich verdrängt). Zumal meine Mutter immer sagte, "das Ein-Mal-Eins reicht. In welcher Arbeitsbranche wird es denn gebraucht und welchen Nutzen kann man denn daraus erzielen?

das wird doch noch häufig gebraucht, bei uns am Ort z.B. von Dr. Dent. Z. Luecke und der Gärtnerei Immergrün.

Der war gut!
Mein erster Gedanke dabei war auch, dass das Wurzelziehen in Mathe ähnlich unangenehm für mich war wie das beim Zahnarzt.